良問でした❗️【2024名古屋大学 】理系 第4問 数Ⅲ 数列 積分 融合問題

[@kazusaka4063]

（2）強敵ですが　階差
f(k)-f(k+1)=nCk　p^k　（1-p）^(n-k)　を証明する　という方針はどうでしょう
部分積分の両辺に出現するインテグラルを片方に集める形が透けて見えやすいかと

[@chiho_juken]

おっしゃる通り、階差でも出来まし、計算のメリットもありますね！
難問ほど、階差で解かせる問題が多いですが、
今回も然りですね〜
ナイスなコメントを、ありがとうございます(^^)

[@善なんよ-n6u]

確率と二次方程式の解とかの融合問題は見るけど積分との融合問題はなかなかみないなって思いました。不完全ベータ関数が背景にあるのかな。(2)から結構難易度の高い帰納法を要求してくるしこの時点で試験本番で解けるか怪しいです

[@chiho_juken]

おっしゃる通り、背景にはβ関数がありますね！
本番で、(2)ですら完答は厳しいと思います。
ナイスなコメントを、ありがとうございます(^^)

[@eltonpolna3279]

26:42 最下行 (赤字) 上行式の分子 : {n-(l+1)}"！" (笑)

[@chiho_juken]

ほんとですね
❗️が抜けてて、ビックリです笑
ご指摘ありがとうございます(^^)
いつも、ありがとうございます。

[@いまひろ09]

誘導があっても初見で解くのは難しいですね😓
以下、
ベータ関数の積分公式を使って計算しましたが
こちらも知らないと出来ないかも
ベータ関数の積分公式
m、nを0以上の整数とする。
I(m、n)=∫x^m (1-x)^n dx
x:0→1とすると
I(m、n)=m!n!/(m+n+1)!
が成り立つ
(証明)
部分積分より
I(m、n)
=［(1/(m+1))x^(m+1) (1-x)^n］x:0→1
+∫(n/(m+1))x^(m+1) (1-x)^(n-1) dx x:0→1
=(n/(m+1))I(m+1、n-1)
=(n(n-1)/(m+1)(m+2))I(m+2、n-2)
=…
=(n(n-1)…2×1)/((m+1)(m+2)…(m+n))I(m+n、0)
=((m!n!)/(m+n)!)I(m+n、0)
I(m+n、0)
=∫x^(m+n) dx x:0→1
=1/(m+n+1)
∴
I(m、n)=∫x^m (1-x)^n dx
x:0→1
= (m!n!)/(m+n+1)!
いま
I(m、n)で
m=n=kとおくと
I(k、k)= ∫x^k (1-x)^k dx
x:0→1
=((k!)^2)/(2k+1)!
ここで
I(k、k)=∫x^k (1-x)^k dx
x:0→1
=∫x^k (1-x)^k dx
x:0→1/2
+ ∫x^k (1-x)^k dx
x:1/2→1
∫x^k (1-x)^k dx
x:1/2→1は
t=1-xで置換すると
x:1/2→1のとき
t:1/2→0
dt=-dxより
=∫(1-t)^k t^k (-dt)
t:1/2→0
=∫(1-t)^k t^k dt
t:0→1/2
となるので
I(k、k)=2∫x^k (1-x)^k dx
x:0→1/2
よって
∫x^k (1-x)^k dx
x:0→1/2
=(1/2)I(k、k)
=(1/2) ((k!)^2)/(2k+1)!
なお、
f(x)=x^k (1-x)^kとすると
f(x)はx:0→1では
上に凸の弓形でx=1/2で対称の図形なので
∫f(x)dx(x:0→1/2)=∫f(x)dx(x:1/2→1)
=(1/2)∫f(x)dx(x:0→1)
となることがわかります

[@chiho_juken]

この問題は、おっしゃる通りβ関数の経験がないと難しいです。名古屋大学の理系は良問が多いですが、受験生としては、10年前の問題を解いてないと、本番では対応出来ないですね。
β関数で、m=n=kとおいて、積分区間を工夫して、Iを出すのは、知ってれば出来ますが、知らないと、あの誘導でも難しいと思います。
にしても、2024の名古屋の理系は、良問が多いですが難しいです。
β関数の説明を、ありがとうございます！
そして、いつも、ありがとうございます(^^)